Методическая система по формирования математических понятий: множества, величины, числа, алгебраических и геометрических понятий

Разбиение.

Операция разбиения на попарно непересекающееся подмножества характеризуются следующими свойствами:

ни одно из подмножеств не пусто;

любые два подмножества не имеют общих элементов;

объединение всех подмножеств дает данное множество.

Операция деление натуральных чисел опирается на разбиение конечного множества на попарно непересекающиеся равномощные подмножества. Она раскрывается путем рассмотрения задач на деление по содержанию и равные части. Это можно осуществить на примере таких работ.

Пример № 1. Несколько карандашей надо раздать трем ученикам. Сколько карандашей получит каждый ученик и сколько их было?

Сначала раздадим по одному карандашу, потом еще по одному и так далее. Пусть каждый ученик получил по 4 карандаша, тогда всего карандашей было: 4 кар. х 3 =12 кар.

Пример № 2. Несколько карандашей надо раздать детям по 4 карандаша. Сколько учеников получит карандаши и сколько их было всего?

Сначала 4 карандаша дали одному ученику, потом 4 карандаша дали второму и так далее. Пусть 3 ученика получили по 4 карандаша, тогда всего карандашей было : 4 кар. х 3 = 12 кар.

Затем учитель должен обобщить полученные результаты: «В первой задаче мы искали первый сомножитель, а во второй задаче мы искали второй сомножитель. Так как умножение обладает переместительным свойством, то мы выполнили в обеих задачах одну и ту же операцию, которая называется делением». После этого учитель записывает:

4 х 3 = 12; 12 3 = 4;

4 х 3 = 12, 12 4 = 3.

2. Величина

Понятие величины является фундаментальным в школьном курсе математики и, в особенности, в начальном обучении. Ведь исторически работа с величинами и привела к появлению математики как таковой. Рассматривая величину как свойство однородных предметов или явлений «быть сравнимым», учитель может с помощью конкретных предметных действий сформировать у учащихся такие важнейшие понятия, как положительное действительное число, операции над числами и их законы, измерение величин и именованные числа, тесно связать геометрический и арифметический материал.

Величины бывают трех видов: скалярные, аддитивно-скалярные, векторные.

Примером скалярных величин является свойство химических элементов быть сравнимыми по активности. Так, натрий более активен, чем железо. Однако, сказать, на сколько он более активен нельзя, то есть нельзя выполнить операцию сложения: к активности железа нельзя, например, добавить активность свинца и получить активность натрия поэтому скалярные величины не являются той основой, на которой возникла математика.

Аддиктивно-скалярные величины (аддитивность – это наличие операции сложения; аддитивная операция – операция сложения) можно не только сравнивать, но и определять, на сколько один элемент множества, обладающего величиной, больше (меньше) другого элемента этого же множества.

Таким образом, аддитивно-скалярные величины можно складывать и поэтому именно на их основе возникла в результате абстрагирования математика. Примером аддитивно-скалярных величин является множество отрезкой, площадей.

Векторные величины можно сравнивать не только с позиции «столько», «больше». «меньше», но и по направлению. Примерами векторных величин является скорость, ускорение.

В начальных классах специальным предметом изучения являются следующие аддитивно-скалярные величины: количество, длина, площадь, масса, емкость, время.

В дальнейшем, для упрощения, вместо того, чтобы говорить «аддитивно-скалярная величина», или «множество, обладающее величиной», будем говорить просто «величина».

Рассмотрим основные свойства величин.

1. Свойство быть сравнимым.

Новое в образовании:

Особенности воспитания в семье
Особенные, специальные условия жизни требуются ребёнку с нарушением опорно-двигательного аппарата уже с рождения. Первыми, кто должен их обеспечить – это его родители. Отношение к ребёнку в семье, его воспитание имеют важнейшее значение для его последующего развития. К сожалению, в некоторых семьях ...

Общие требования к средствам обучения
Средства обучения (СО), используемые в образовательных учреждениях: натуральные объекты; модели; учебные приборы; экранно-звуковые средства обучения; печатные средства обучения; станки, верстаки, инструменты; средства вычислительной техники; школьные учебники. Информация, передаваемая с помощью СО, ...

Эволюционные представления в науке
В.И. Вернадский, Ч. Дарвин, А. Энштейн изменили основы мировоззрения человека. Время стало осязаемым, эволюция перестала быть фактором, которого стремятся отвлечься в исследованиях. Естественным стало изучать не только сложившиеся структуры, чем на протяжении столетий занимались многие науки, а про ...