Числовые выражения. Числовые равенства и неравенства, их свойства

Те значения неизвестного из области определения, при которых уравнение (неравенство) обращается в верное числовое равенство (неравенство), называется корнями уравнения (множеством решения неравенств).

Если область определения уравнения (неравенства) не задана, то она совпадает с областью определения выражений, входящих в данное уравнение (неравенство). Например, областью определения уравнения (3 х2): х • 2 = 4 является множество (- °о; 0) U(0;оо).

Два уравнения (неравенства) называются равносильными, если у них совпадают области определения и множества решений.

Например, уравнения (3 х2 ) : х - 2 = 4 (1) и 3 х - 2=4 (2) не равносильны, так как их области определения не совпадают. Уравнения Корень (2х - 1) 2 = х (3) и 2 х - 1 = х2 (4) не равносильны, хотя их области определения и совпадают, так как уравнение (3) имеет один корень (х = 1), а уравнение (4) - два корня (х = 1 ; х = 1).

При решении любого уравнения (неравенства) его заменяют более простым равносильным уравнением (неравенством). В начальных классах формируется следующие два основных свойства равносильных преобразований.

1. Если к обеим частям уравнения (неравенства) прибавить (вычесть) выражение, имеющее ту же область определения, что и данное уравнение (неравенство), то получим уравнение (неравенство) равносильное данному.

Например, уравнения Зх=2х+4 и 3х- 2х=4 равносильны.

2 а. Если обе части уравнения умножить на выражение, имеющее ту же область определения, и которое не обращается в нуль на этой области определения, то получим уравнение, равносильное данному.

Например уравнения (3 х - 1) • (х2 + 1) = 5 (х2 + 1) и 3х - 1=5 равносильны, а (3 х 1)* (х + 1) = 5 (х + 1) и 3 х - 1=5 не равносильны.

2 б. Если обе части неравенства умножить на выражение, имеющее ту же область определения и большее нуля на этой области определения, то получим неравенство, равносильное данному.

Например, неравенства (3 х - 1) • (х2 I) > (5 х2 1) и (3 х - 1) > 5 равносильны.

В начальных классах формируется понятие об уравнении и неравенстве, их области определения, множестве решений, равносильных преобразованиях. Покажем на примерах, как можно построить обучение по их формированию.

Пример 1. Ученикам предлагается записать с помощью уравнения решение такой задачи. Сколько детей взяло яблоки, если в вазе лежало 10 яблок и каждый из детей взял по 2 яблока и осталось в вазе два яблока?

Ученики записывают 10 - 2 х == 2 и определяют, что вместо "х" можно подставить числа 1, 2, 3, 4, 5 (находят область определения). Подбором они убеждаются, что х == 4 является корнем уравнения.

Пример 1. Для отработки умений находить область определения и множество решений неравенства учащимся можно предложить ответить на вопрос: "Какие числа можно подставить в неравенство 8 - х < 3 вместо "х" и при каких из них неравенство превращается в верное числовое неравенство?" (Вместо "х" можно взять любое число, которое меньше 9; при х = б ; 7 ; 8 получается верное числовое неравенство).

Пример 3. Для формирования понятий о равносильных уравнениях (неравенствах) и их свойствах ученикам можно предложить следующее задание.

Найдите область определения и множество решений неравенства 8 - х < 3 (1), Пользуясь неравенством (1), не решая неравенства 8-х+ 4 < 3 + 4 (2) и (8 - х) • 2 < 3 • 2 (3), найдите их области определения и множество решений.

IX. Функция: область определения, область значений, способы заданий.

Определение. Функцией называется такая зависимость переменной у от переменной X , при которой каждому значению х соответствует единственное значение у . Значения, которые может принимать х называются областью определения функции. Значения, которые принимает у называются областью значений функции.

Если функциональное соответствие задается на числовом множестве, то мы имеем числовую функцию.

Числовую функцию, как и любую другую, можно задать аналитически, парами, таблицей, графом, графиком на координатной плоскости. Например, функция у =2х-1 задана аналитически.

Новое в образовании:

Виды декупажа
Выделяют пять видов декупажа – прямой, обратный, художественный, объемный и декопатч. Все они кардинально отличаются между собой, пусть и объединены базовой техникой. Прямой или классический Прямой, или классический декупаж – это декорирование, во время которого картинка приклеивается непосредствен ...

Организация воспитательной системы в образовательном учреждении
В образовательном учреждении воспитательная система – основное связующее звено между учителем, родителем и учеником и от ее правильного взаимодействия с данной триадой зависит успешность социализации учащегося. В последние десятилетия, как уже отмечалось, возникают проблемы взаимодействия в системе ...

Анализ раздела «Числа и цифры» современных программ
Ориентировка в современных программах развития и воспитания детей в детском саду, изучение их дает основание для выбора методики. В современные программы («Развитие», «Радуга», «Детство», «Истоки» и др.), как правило, включается то логико-математическое содержание, освоение которого способствует ра ...